Уравнения математической физики



Аннотация

Курс читается в течение одного семестра. В курсе уравнения математической физики рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Излагаются основные факты, относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению как простейшим представителям трех основных классов уравнений с частными производными. Рассматриваются постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Даются доказательство теоремы Ковалевской, задача Коши для волнового уравнения, смешанная задача для уравнения гиперболического и параболического типов. Рассматриваются интегральные уравнения с эрмитовым ядром, задача на собственные значения, а также некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка.

Введение

Основной целью проведения уравнений математической физики является повышение уровня математической подготовки студентов 3-курса учащихся по специальности “Прикладная математика и информатика”.
Уравнения математической физики непосредственно связаны с предметами математического анализа, дифференциальные уравнения, вычислительная математика и т.п.
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. В курсе уравнения математической физики рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.
Предмет уравнений математической физики играет важную роль в учебном процессе при подготовке специалистов, студентов высокого уровня общематематической подготовки и многих специальных предметах.

1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.


Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка со многими независимыми переменными. Канонические формы линейных уравнений с частными производными второго порядка. Уравнение Трикоми. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Корректность постановок задач математической физики. Задача Коши. Теорема Ковалевской. Пример Адамара.

2. Уравнения гиперболического типа

Простейшие задачи, приводящиеся к уравнениям гиперболического типа. Метод распространяющихся волн. Полуограниченная прямая и метод продолжений. Уравнение гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Задача с данными на характеристиках. Задача Гурса. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа. Метод Римана. Волновое уравнение. Формула Кирхгофа. Принцип Гюйгенса. Формула Пуассона. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Теорема единственности. Неоднородное волновое уравнение. Точечный источник. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа. Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн. Неоднородные уравнения. Общая первая краевая задача. Общая схема метода разделения переменных. Метод Фурье для многих независимых переменных. Однородные гиперболическое уравнение. Неоднородные гиперболическое уравнение. Свободные колебания прямоугольной мембраны. Свободные колебания круглой мембраны.

3. Уравнения параболического типа

Смешанная задача для уравнения параболического типа. Классическое решение. Принцип максимума. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Решение смешанной задачи методом разделения переменных (Метод Фурье). Обоснования метода Фурье. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (формула Пуассона). Обоснование формулы Пуассона.

4. Интегральные уравнения

Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром. Теорема Гильберта – Шмидта и ее следствия.

5.Уравнения эллиптического типа

Основные свойства гармонических функций. Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле для шара и полупространства. Потенциал объемных масс. Потенциалы двойного и простого слоя. Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка. Задача на собственные значения. Задача Штурма – Лиувилля. Метод Фурье. Метод Фурье для задачи на собственные значения.

6. Специальные функции

Цилиндрические функции. Функции Бесселя. Сферические функции.

Темы практических занятий


Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка со многими независимыми переменными. Канонические формы линейных уравнений с частными производными второго порядка. Задача Коши. Постановка основных краевых задач для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Корректность постановок задач математической физики.
Простейшие задачи, приводящиеся к уравнениям гиперболического типа. Метод распространяющихся волн. Метод разделения переменных. Задача с данными на характеристиках. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа.
Уравнение теплопроводности. Принцип экстремума. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Задачи Коши – Дирихле. Постановка задачи Коши – Дирихле и доказательство существования ее решения. Единственность и устойчивость решения задачи Коши – Дирихле. Неоднородное уравнение теплопроводности.
Интегральные уравнения. Метод последовательных приближений. Теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром. Теорема Гильберта – Шмидта и ее следствия.
Основные свойства гармонических функций. Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле для шара и полупространства. Потенциал объемных масс. Потенциалы двойного и простого слоя. Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка. Задача на собственные значения. Задача Штурма – Лиувилля. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве. Уравнение Гельмгольца. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости.
Цилиндрические функции. Функции Бесселя. Сферические функции.
Метод Фурье. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа. Смешанная задача для уравнения параболического типа. Метод Фурье для задачи на собственные значения.

Основная литература

  • Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. “Наука”.1972.

  • Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М. “Наука”.1988.

  • Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М. “Наука”.1961.

  • Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М. “Наука”.1982.

  • Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М. “Высшая школа ”. 1970.

  • Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М. “Наука”.1974.

  • Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М. “Наука”.1964.

  • Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. М. Из-во МГУ.1976.

  • Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. “Наука”.1977.

  • Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. “Наука”.1982.

  • Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М. “МЦНМО”.2003.

  • Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М. “МЦНМО”.2004.



Дополнительная литература

  • Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. “Наука”. 1966.

  • Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. “Наука”.1981.

  • Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.1959.

  • Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. “Наука”.1979.

  • Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М. “Гостехиздат”.1954.

  • Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т.2.,Т.4.М. “Физматгиз”. 1958.

  • Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.1985.

  • Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М. “Наука”.1975.

  • Самарский А.А. Теория разностных схем. М. “Наука”.1977.

  • Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М. “Наука”.1971.