Теория вероятностей и математическая статистика


Теория вероятностей и математическая статистика



Аннотация

Целью курса является знакомство студентов с основными понятиями, методами и результатами теории вероятностей и математической статистики. В частности, изучаются различные свойства распределений случайных величин, предельные теоремы, элементы теории случайных процессов, основные задачи математической статистики: точечное и интервальное оценивание, проверка гипотез, исследование зависимостей. Большое внимание уделяется вопросам построения математических моделей случайных экспериментов выработке навыков применения изученных методов при решении практических задач.

Содержание курса

Теория вероятностей.

Вероятностное пространство. Операции над событиями. Свойства вероятности. Условная вероятность. Независимость событий. Критерий независимости. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Прямое произведение вероятностных пространств. Независимые испытания Бернулли.
Случайная величина. Порожденное и индуцированное вероятностные пространства. Функция распределения, ее свойства. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные функции распределения и случайные величины. Плотность распределения. Теорема Лебега о разложении функции распределения. Моменты случайных величин. Их свойства. Совокупности случайных величин. Совместная функция распределения. Независимость случайныхвеличин. Критерии независимости. Виды сходимости последовательностей случайных величин.
Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева. Лемма Бореля-Кантелли. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова. Усиленный закон больших чисел для независимых одинаково распределеных случайных величин. Характеристические функции и их свойства. Закон больших чисел в форме Хинчина. Центральная предельная теорема. Условное математическое ожидание.
Цепи Маркова. Классификация состояний. Критерий возвратности. Случайные блуждания на прямой и на плоскости.

Математическая статистика

Статистическая структура. Выборка. Статистика. Порядковые статистики. Вариационный ряд. Выборочные моменты и выборочная функция распределения. Их свойства. Точечная оценка. Несмещенность, состоятельность, оптимальность. Теорема о единственности оптимальной оценки. Функция правдоподобия. Достаточные статистики, полные статистики. Теорема факторизации.
Неравенство Рао-Крамера. Эффективные оценки. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова. Оптимальность оценок, являющихся функцией полной достаточной статистики. Метод моментов. Свойства оценок, полученных методом моментов. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Доверительные интервалы. Методы центральной статистикии использования точечной оценки.
Проверка гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерии согласия Колмогорова и х-квадрат. Линейная регрессионная модель. Теорема Гаусса-Маркова.

Литература

  • Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука. 1982.

  • Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во МГУ. 1983.

  • Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. 1989.

  • Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

  • Чибисов Д.М., Пагурова В.И. Задачи по математической статистике. М.: Изд-во МГУ. 1990.



Дополнительная литература

  • Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, 2. М.: Мир. 1984.

  • Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Вьюшая школа. 1992.

  • Севастьянов Б.А. и др. Сборник задач по теории вероятностейМ.: На-ука. 1989.

  • Ивченко Г.И. и др. Сборник задач по математической статистике. М: Высшая школа. 1989.