Обыкновенные дифференциальные уравнения



Аннотация
Курс состоит из двух частей. Каждая из частей читается в течение одного семестра.
В первой части рассматриваются вопросы существования и единственности решения задачи Коши. Исследуется уравнение первого порядка неразрешенное относительно производной и особое решение этого уравнения. Во второй части курса рассматриваются краевые задачи второго порядка и задачи на собственные значения и собственные функции. Даются основные понятия теории устойчивости. Большой раздел посвящен теории вариационного исчисления. Вводится понятия функционала и вариации. Даются необходимые условия экстремума функционала. Выводится уравнения Эйлера для различных классов функционалов.


Основной целью проведения обыкновенных дифференциальных уравнений является повышение уровня математической подготовки студентов 2-курса учащихся по специальности “Прикладная математика и информатика”.
Обыкновенные дифференциальные уравнения непосредственно связаны с предметами математического анализа, алгебры и аналитической геометрии, вычислительная математика и т.п.
В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются вопросы существования и единственности решения задачи Коши. Исследуется уравнение первого порядка неразрешенное относительно производной и особое решение этого уравнения. Рассматриваются краевые задачи второго порядка и задачи на собственные значения и собственные функции. Даются основные понятия теории устойчивости. Большой раздел посвящен теории вариационного исчисления. Вводится понятия функционала и вариации. Даются необходимые условия экстремума функционала. Выводится уравнения Эйлера для различных классов функционалов.
Предмет обыкновенных дифференциальных уравнений играет важную роль в учебном процессе при подготовке специалистов, студентов высокого уровня общематематической подготовки и многих специальных предметах.

1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной.

Общие понятие, примеры. Метод разделения переменных. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнение Якоби.

2. Вопросы существования решений уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной

Теорема существования. Теорема единственности. Особые точки.

3. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.

Уравнения первого порядка п–й степени. Уравнения, не содержащие явно одного из переменных. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Нормальные системы. Теорема существования и единственности. Типы уравнений п–го порядка, разрешаемые в квадратурах.

5. Общая теория линейных дифференциальных уравнений.

Определение и общие свойства. Общая теория линейного однородного уравнения. Неоднородные линейные уравнения. Однородные линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Применение тригонометрических рядов к нахождению частного решения. Уравнение Эйлера. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Линейные уравнения второго порядка. Уравнение Бесселя. Построение решения краевой задачи с помощью формулы Грина. Существование функции Грина. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.

6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.


Системы линейных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению.

7. Уравнения с частными производными первого порядка.


Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка.

8. Элементы вариационного исчисления.

Функционал и его вариация. Постановка вариационной задачи. Необходимое условие экстремума. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Многомерные вариационные задачи. Уравнение Эйлера – Остроградского. Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых. Уравнения с разделяющимся переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Существование и единственность решения. Дифференциальные уравнения, не разрешённые относительно производной. Разные уравнения первого порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Преобразование уравнений и свойства их решений. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Краевые задачи. Функция Грина. Общие вопросы теории систем в нормальных и симметричных формах. Однородные линейные системы линейных дифференциальных уравнений. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные системы. Понятие устойчивости решения. Устойчивость решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости методом функций Ляпунова. Особые точки. Фазовая плоскость. Зависимость решения от начальных условий и параметров. Приближенные решение дифференциальных уравнений. Нелинейные системы. Уравнения в частных производных первого порядка. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка. Функционал и его вариация. Постановка вариационной задачи. Необходимое условие экстремума. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Многомерные вариационные задачи. Уравнение Эйлера – Остроградского. Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Литература

В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М. 1959 г.
И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. 1964 г.
Л.С. Понтягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1974 г.
Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление. М. 1969 г.
Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. М. 1967 г.
В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1971 г.
М.В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1980 г.
Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1970 г.
А.Ф. Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М. 2007 г.
А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. 1973 г.
Н.М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск 1974 г.
Н.М. Матвеев. Дифференциальные уравнения. Минск 1976 г.
Н.М. Матвеев. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск 1977 г.
М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. 1978 г.
А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М. 1989 г.
К.К. Пономарев. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно – технических задач. М. 1962 г.
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. М. Наука. 1979. М. 2005 г.
А.Б. Васильева и др. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление. М. 2005 г.
Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М. 1981 г.