Функциональный анализ


Функциональный анализ



Аннотация

Излагаются начальные главы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные операторы, теория Фредгольма, элементы спектральной теории.

Содержание курса


Теория меры. Интеграл Лебега. Открытые и замкнутые множества на прямой, их структура.
Измеримые множества и их свойства, внешняя мера. Измеримые функции, их свойства.
Интеграл Лебега: интеграл Лебега от ограниченных функций, класс интегрируемых по Лебегу функций, свойства интеграла Лебега, интеграл Лебега от неограниченных функций, предельный переход под знаком интеграла Лебега (теоремы Лебега, Леви, Фату), многомерный случай интеграла Лебега (теорема Фубини).
Пространства Z.p, p >1. Неравенства Гельдера и Минковского, полнота пространства LP.
Линейные нормированные пространства. Банаховы пространства. Линейные операторы и линейные функционалы; сопряженные пространства; теорема Банаха-Штейнгауза.
Обратный оператор: теоремы Неймана и Банаха.
Линейные функционалы: теорема Хана-Банаха и ее следствия, общи; вид линейного функционала в конкретных нормированных пространства. Слабая сходимость.
Счетно-нормированные пространства.
Гильбертово пространство. Основные свойства; теорема об ортогональном разложении.
Ортонормированные системы; неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, полнота, замкнутость, базис, изоморфизм гильбертовых пространств.
Сопряженный оператор: вполне непрерывные операторы. Теория Фредгольма.
Спектральная теория: резольвента, спектр, их свойства, функции от операторов; спектр вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве, спектральная теория самосопряженных операторов; собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора, теорема Гильберта-Шмидта, формула Шмидта.

Литература

  • Ильин В А.. Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.2. М: Наука. 1980. М.: Физматлит. 1998. 2004.

  • Колмогоров А.Н.. Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989.

  • Люстерник Л-А_, Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1982.

  • Леонтьева ТА. Сборник задач по теории функций действительного переменного. М.: МГУ. 1978.

  • Леонтьева ТА. Введение в функциональный анализ. Сборник задач. М.: МГУ. 1978.

  • Леонтьева ТА.. Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории функций действительного переменного. М.: МГУ. 1997.



Дополнительная литература


  • Рисе Ф.. Сёкифальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979.

  • Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.

  • Треногий ВА_. Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональном)г анализу. М.: Наука. 1984.

  • Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение. 1981.

  • Теляковский СА. Сборник задач по теории функций действительного переменного. М.: Наука. 1980.