Основы кибернетики


Основы кибернетики



Аннотация

Излагаются основные модели, методы и результаты математической кибернетики, связанные с теорией дискретных управляющих систем (УС), с задачей схемной или структурной реализации дискретных функций и алгоритмов. Рассматриваются различные классы УС (классы схем), представляющие собой дискретные математические модели различных типов электронных схем. систем обработки информации и упраатения, алгоритмов и программ.
Для базовых классов УС (схем из функциональных элементов, формул, контактных схем), а также некоторых других типов УС ставятся и изучаются основные задачи теории УС: задача анализа УС, задача эквивалентных преобразований и структурного моделирования УС, задача синтеза УС, задача повышения надежности и контроля УС. В программу курса входят классические результаты Шеннона, С.В.Яблонского и О.Б.Лупанова, а также некоторые результаты последних лет. Показывается возможность практического применения этих результатов.

Содержание курса

Минимизация дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) и некоторые-вопросы дискретной оптимизации и контроля управляющих систем (УС).
Функции алгебры логики (ФАЛ) и способы их задания, задача минимизации ДНФ. Тупиковая ДНФ и ее «геометрическая» интерпретация. Однозначно получаемые ДНФ (сокращенная, пересечение тупиковых, Квайна сумма тупиковых) и способы их построения. Особенности ДНФ для некоторых классов ФАЛ. Задача минимизации ДНФ и алгоритмические проблемы связанные с ее решением. Оценки максимальных значений для некоторые параметров ДНФ.
Алгоритм построения всех тупиковых ДНФ (всех неприводимых подпокрытий для заданного покрытия конечного множества его подмножествами). Градиентный алгоритм и оценка длины градиентного покрытия. Оценки «типичных» значений некоторых параметров ДНФ.
Задача контроля УС. Тесты для таблиц, алгоритм построения всех тупиковых тестов. Некоторые оценки длины диагностического теста. Построение тестов для некоторых типов УС.
Основные классы УС, их эквивалентные преобразования и структурное моделирование.
Различные классы УС (классы схем) как структурные математические модели различных типов электронных схем, систем обработки информации и управления, алгоритмов и программ. Основные классы УС — формулы схемы из функциональных элементов (СФЭ), контактные схемы (КС), — и > структура, меры сложности, функционирование, полнота. Некоторые частные случаи и обобщения основных классов.
Эквивалентность схем. Понятие подсхемы и принцип эквивалентно замены. Тождества и связанные с ними эквивалентные преобразования УС Построение полных систем тождеств для формул, СФЭ и КС. Отсутствие
конечной полной системы тождеств для КС. Структурное моделирование некоторых классов УС в других классах УС.
Синтез, сложность и надежность УС. Задача синтеза УС и основные подходы к ее решению. Сложность ФАЛ и функция Шеннона. Простейшие методы синтеза схем. Метод каскадов для КС и СФЭ, реализация некоторых ФАЛ. Методы получения нижних оценок сложности конкретных ФАЛ. Операция суперпозиции для основных классов схем, метод Шеннона. Мощностные методы получения нижних оценок для функций Шеннона. Асимптотически наилучшие методы синтеза для СФЭ, формул и КС. Поведение функции Шеннона для глубины ФАЛ. Задача «геометрической» реализации УС. Клеточные СФЭ как «грубая» топологическая модель СБИС. Оценки площади дешифратора и функции Шеннона для площади клеточных СФЭ.
Схемы из ненадежных элементов. Самокорректирующиеся КС и простейшие методы их синтеза. Асимптотически наилучшие методы синтеза КС, корректирующих один обрыв или одно замыкание. Структурные модели высокого уровня и некоторые вопросы сложности алгоритмов.
Автоматные функции и их реализация схемами из функциональных элементов и элементов задержки. Схемы с «мгновенными» обратными связями. Представление о логических схемах программ.
Полиномиальная сводимость языков, классы Р и NP, проблема NP-полноты. Окрестностные алгоритмы, порядок окрестностных алгоритмов, решающих некоторые задачи минимизации ДНФ.

Литература


  • Яблонский СВ. Введение в дискретную математику. М.: Наука. 1986.

  • Яблонский СВ. Эквивалентные преобразования управляющих систем. М.: МГУ. 1986.

  • Яблонский СВ. Надежность управляющих систем. М.: МГУ. 1991.

  • Яблонский СВ. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем. Математические вопросы кибернетики, вып.1. М.: Наука. 1988. С. 5-26.

  • Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: МГУ. 1984.

  • Алексеев В.Б., Ложкин СА. Элементы теории графов, схем и автоматов. М.: МГУ. 2000.

  • Ложкин СА. Структурное моделирование и декомпозиция управляющих систем из некоторых классов. М.: МГУ. 2001.

  • Ложкин СА. Некоторые вопросы синтеза, сложности и надежности управляющих систем. М.: МГУ. 2002.

  • Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: МГУ. 2001.



Дополнительная литература

  • Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1974.

  • Сапоженко А.А. Дизъюнктивные нормальные формы. М.: Наука. 1975.

  • Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. М.: Наука. 1991.