Математический анализ


Математический анализ



Аннотация

Основу математического анализа составляют интегральное и дифференциальное исчисления. В первую часть курса входит построение теории вещественных чисел, определение и развитие понятия предела функции и связанного с ним понятия непрерывности функции, обоснование формул и правил дифференциального и интегрального исчислений, построение теории определенного интеграла и развитие методов вычисления определенных интегралов, выяснение некоторых геометрических понятий (площади плоской фигуры, длины дуги и т.д.). Дифференциальное исчисление строится сначала для функций одной переменной, затем для функций многих переменных. Для функций одной переменной вводится понятие неопределенного интеграла, затем определенного и несобственного интеграла первого и второго рода.

Содержание курса

Введение. Предмет математического анализа. Естествознание как источник основных понятий математического анализа. Очерк развития математического анализа.
Функции одной переменной.
Действительные числа. Множества на числовой прямой. Существование точных граней ограниченных числовых множеств. Элементы теории множеств. Операции над множествами. Понятие отображения (в частности, суперпозиции функций). Понятие счетного множества. Несчетность множества действительных чисел.
Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число «е». Предельные точки последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы числовых последовательностей.
Функция действительной переменной. Предельное значение функции в точке и на бесконечности по Коши и по Гейне. Свойства функций, имеющих предельное значение. Критерий Коши существования предела функции. Ограниченность и неограниченность функции. Бесконечно большие и бесконечно малые в данной точке функции и принципы их сравнения. Символы «О» и «о».
Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций. Монотонные функции. Понятие обратной функции. Существование односторонних пределов у монотонных функций. Существование и непрерывность обратной функции. Свойства простейших элементарных функций и их непрерывность. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций, теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.
Производная. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функции. Первый дифференциал функции. Производные и дифференциалы суммы, произведения, частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование обратной функции и функции, заданной параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков элементарных функций. Возрастание и убывание функции в точке. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции. Критерий нестрогой и условие строгой монотонности дифференцируемых функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия теоремы Лагранжа. Правила Лопиталя. Формула Тейлора. Остаточные члены в формуле Тейлора в общей форме и формах Лагранжа, Коши и Пеано. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Основные методы интегрирования. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях.
2 семестр. Графики функций. Достаточные условия локального экстремума функции. Условия выпуклости графика функции. Необходимые и достаточные условия перегиба графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования и построения графика функции.
Определенный интеграл Римана. Теория Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Существование первообразной для непрернвной функции. Теоремы о среднем значении. Замена переменной и интегрирование по частям.
Несобственный интеграл Римана. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.Несобственный интеграл от неограниченной функции. Главное значение несобственного интеграла.
Геометрические приложения определённого интеграла. Способы задания кривых на плоскости и в пространстве, плошадь плоской фигуры, длина дуги, объем тела вращения, площадь поверхности вращения.
Приближенные методы вычисления корней уравнений. Метод последовательных приближений. Метод хорд. Метод касательных. Приближенное вычисление интегралов Римана: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка погрешности.
Функции нескольких переменных.
Евклидово пространство (Е). Алгебраические свойства, скалярное произведение, метрика. Сходящиеся последовательности в Е и их свойства. Критерий Коши существования предела. Предельные точки можества. Открытые и замнутые можества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Частные производные. Дифференцируемсть функции в точке. Связь дифференцируемсти с существование частных производных. Геометрический смысл диффенцируемости функций двух переменных. Дифференцируемость сложннх функций и инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора.
Неявные функции. Теоремы существования, дифференцируемости неявных функций. Вычисление производннх неявных функций. Системы функций и векторные функции. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений. Теоремы об обратной функции. Теоремы о зависимости и независимости систем функций.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Необходимые условия, достаточные условия условного экстремума. Общая схема отыскания наибольших и наименьших значений функций нескольких переменных.

Литература


  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, ч.1. М.: Наука. 1979. М.: МГУ. 1985. М.: Проспект. 2004.

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.1. М.: Наука. 1982. М.: Физматлит. 1998, 2004.

  • Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект. 2004.

  • Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука. 1990 и последующие издания.



Дополнительная литература


  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1. М.: Высшая школа. 1988.

  • Никольскиий С.Ы. Курс математического анализа, т. 1. М.: Наука. 1983.

  • Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, ч. 1. М.: МГУ. 1988. Ч. 4. М.: Факториал. 1998.

  • Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу, Т. 3 М: Наука.1984. Т. 2. М.: Наука. 1986. Т. 3. М.: Физматлит. 1995.

  • Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир. 1976.

  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 2. М.: Физматлит. 2001.