Линейная алгебра и аналитическая геометрия



Аннотация

Дисциплина «Алгебра и геометрия» знакомит студентов с фундаментальными методами исследования современной алгебры и аналитической геометрии. В процессе обучения студенты должны усвоить методику построения алгебраических структур, внутреннюю логику, связаваюшую линейную алгебру и аналитическую геометрию, и приобрести навыки исследования и решения задач алгебры и аналитической геометрии.

Содержание курса

Векторная алгебра. Векторы. Операции над векторами, Линейная зависимость системы векторов. Базис. Аффинные координаты. Проекции вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Системы координат. Декартовы системи координат на прямой, плоскости и в пространстве. Формулы преобразований координат. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
Прямые линии и плоскости. Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучок прямых. Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Различнне виды уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Пучок плоскостей. Связка плоскостей. Полупространства. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Связка прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, расстояние между прямыми, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью.
Линии и поверхности второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, канонические уравнения и геометрические свойства. Касательнне к эллипсу, гиперболе и параболе. Уравнения эллипса, гиперболы в полярных координатах. Классификация линий второго порядка на плоскости. Эллипсоид. Гиперболоидн. Параболоиды. Конус и цилиндрн. Прямолинейнне образуюшие поверхностей второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.
Элементы общей алгебры.
Множества и отображения. Объединение, пересечение и декартово проедение множеств. Взаимно однозначное отображение. Композиция отобоажений. Обратное отображение. Отношение эквивалентности. Алгебраические операции.
Группа, кольцо и поле. Определение и простейшие свойства. Поле вычетов по простому модулю. Комплексные числа. Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Возведение в степень, извлечение корня.
Многочлены. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Деление многочленов, алгоритм Евклида. Корни многочлена. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Каноническое разложение многочлена. Многочлены с вещественными коэффициентами.
Матрицы. Понятие матрицы. Линейные операции над Матрицами. Умножение матриц. Транспонирование и сопряжение матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Приведение к ступенчатому виду.
Определители. Понятие определителя. Свойства определителя. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Определитель произведение
Обратная матрица. Метод Гаусса вычисления определителя. Обратная матрица. Вырожденность и невырожденность матрицы. Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы. Метод Гаусса-Жордана обращение матрицы.
Ранг матрицы. Линейная зависимость и линейная независимость сто лбцов матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц. Инварриантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований. тод Гаусса вычисления ранга матрицы. Эквивалентные матрицы, критерий эквивалентности.
Системы линейных алгебраических уравнений. Системы с квадратной невырожденной матрицей, правило Крамера. Исследование и решение систем общего вида. Теорема Кронекера-Капелли. Обшее решение системы. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Метод Гаусса исследования и решения системы линейных алгебраических уравнений. Свойства совокупности решений однородной и неоднородной систем уравнений с точки зрения фактов линейного пространства.
2 семестр. Линейные пространства. Определения и простейшие свойства. Линейная зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора. Матрица перехода к другому базису. Изоморфизм линейных пространств. Линейные подпространства. Линейная оболочка. Сумма и пересечение линейных подпространств, прямая сумма. Дополнительное подпространство. Линейные многообразия в линейном пространстве. Прямая и гиперплоскость.
Евклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Длина, угол и расстояние. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Процесс Грама-Шмидта ортогонализации векторов. Матрица Грама. Ортогональные и унитарные матрицы; Ортогональное дополнение. Разложение вектора на ортогональную проекцию и ортогональную составляющую. Задача о наилучшем приближении. Линейные многообразия в евклидовом и унитарном пространстве. Изоморфизм евклидовых и унитарных пространств.
Линейные операторы. Определение и простейшие свойства. Матрица линейного оператора. Матрицы линейного оператора в различньгх базисах. Линейное пространство линейных операторов. Умножение линейных операторов. Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Невырожденость линейного оператора. Обратный оператор. Критерий обратимости.
Структура линейного оператора в линейном пространстве. Характеристический многочлен линейного оператора. Инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Оператор простой структуры. Корневые подпространства. Жорданова форма матрицы линейного оператора.
Линейные операторы в унитарном и евклидовомпространстве. Сопряженный оператор. Нормальные операторы. Унитарные и ортогональные операторы. Самосопряженные операторы. Матрицы перечисленных операторы. Знакоопределенный оператор. Корень из оператора. Полярное и эрмитог разложения линейного оператора. Общий вид линейной формы.
Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной формы. Общий вид билинейной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Формулы Якоби. Закон инерции. Знаконопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Полуторалинейные и эрмитовы формы. Приведение квадратичной формы к главным осям в евклидовом пространстве. Одновременное приведение к каноническим видам пары квадратичных форм.
Гиперповерхности второго порядка вевклидовом пространстве. Приведенные уравнения гиперповерхности второго порядка. Геометрические свойства гиперповерхностей второго порядка.
Линейное нормированное пространство. Норма вектора, сходимость по норме. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Норма линейного оператора. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора. Норма матрицы.
Операторные уравнения. Альтернатива Фредгольма. Нормальное решение. Псевдорешения. Метод наименьших квадратов. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Метод регуляризации поиска нормального решения.
Элементы вычислительных методов линейной алгебры. Основные алгебраические задачи вычислительной математики. Понятие о прямых и итерационных методах. Метод Гаусса и его вычислительные особенности. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Элементы тензорной алгебры. Понятие тензора. Алгебраические операции над тензорами. Матричный тензор в евклидовом пространстве.

Литература

  • Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: МГУ. 1998>

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1988. М.: Физматлит. 1998, 2004

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. 1984. М.: Физматлит. 1998, 2004.

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1975.

  • Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1980.

  • Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения. М.: МГУ. 1987.

  • Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и

  • Задачи, т. I, 11(1), 11(2). М.: Зерцало. 2003.

  • Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по ана->

  • литической геометрии. М.: Наука. 1964.

  • Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической гео-

  • метрии. М.: Наука. 1975.

  • Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука. 1975.

  • Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука. 1984.



Дополнительная литература

  • Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука. 1974.

  • Александров П.С. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Наука. 1979.